密码学原理与实践2

信安数学基础学习

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若 a 是 b 的倍数则记为 b\ |\ a\
一个比较不熟的定理\
若 a\ |\ b，b\ |\ a 则 a=\pm b\
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欧几里得除法

先证存在性，再证唯一性


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因为q与q_{1}都是整数，所以它们相差的绝对值大于等于1，所以\lvert b(q-q_{1})\rvert \geq b\
根据r与r_{1}的范围可知\lvert r_{1} - r \rvert < b，所以与b(q-q_{1})=r_{1}-r矛盾。
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密码学原理与实践学习

仿射密码

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移位密码和仿射密码是代换密码的一种特殊形式。仿射密码加密函数定义为\
e(x)=(ax+b)mod26\
a,b \in\mathbb Z$26，当a=1，就是移位密码
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为了解密，要保证仿射函数是一个单射函数，\
也就是ax\equiv y(mod26)中一个x对应一个y，\
一个x不能对应多个y，一个y不能对应多个x。\
书中写假设存在ax_{1}\equiv ax_{2}(mod26)，\
我先这样理解，\
就是说如果两个\mathcal{P}（不知道是否一样）经过同种加密后他们的\mathcal{C}一样，\
推出x_{1}\equiv x_{2}(mod26)这个结论，\
这两个\mathcal{P}在Z26中位置相同，即两个\mathcal{P}一样。\
达到证明它是单射函数的目的。\
单纯在数学上说就是假设ax_{1}\equiv ax_{2}(mod26)\
（把x_{1}当已知，x_{2}当未知）没有唯一解，即x_{1}\neq x_{2}，\
但是推出x_{1}\equiv x_{2}(mod26)与前面矛盾，所以只有唯一解。\
取ax\equiv y(mod26)中ax第i个值为ax_{i}，\
由上面有唯一解证明知不存在ax_{i}与ax_{j}在\mathbb Z26中位置相同\
（如果相同，ax_{i}\equiv ax_{2}(mod26)中，\
x_{2}$可以取$x_{i}和x_{j}，就与唯一解矛盾，\
所以x_{2}只能取x_{i}）最后得到上面的证明。
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下面重新叙述这个命题（定理）